傅立叶变换玩玩看

# 傅立叶变换 (Fourier Transform) 玩玩看

这一篇文稿，有很多想法和内容参考了 betterexplained.com 的网页[1]，另外模拟程式也参考了 kazad 的程式码[2] 以及 quantblog.wordpress.com 的程式码[3] 做进一步的修改而成，就先在此一併说明。感谢有这些资源，让我可以进一步拿来改写，希望对于初学者，尤其不太喜欢读英文的，能够有一点点帮助。

傅立叶变换在理工的领域常常被提到，那麽到底它是什麽东西呢？简而言之，它可以用来告诉我们：在时间讯号裡面，到底躲藏了哪些频率的讯号在裡面。反过来，如果知道各种频率成份，那麽组合起来的时间讯号又是长怎麽样的。我们一起来学习吧！

首先，如果一个点在圆週上做等速运动，那麽它在 X 轴或 Y 轴上的投影，其大小和时间的关係会是一个弦波，如下面的图示：

Canvas Not supported, sorry.

这边，Y 轴上的投影大小会变成 sin 函数（红色），而 X 轴的投影大小就是 cos 函数（绿色）。我们在下面的讨论，基本上会使用 X 轴的投影。

我们会用来做讲解的程式，是从 betterexplained.com (opens new window) 所提供的线上程式，像下面这样：

那我把这个程式稍微做了一些改写，在之后的页面读者会看到有一些差别，不过基本的功能是一样的。

以下先说明这个模拟程式的基本功能，然后再进行我们的说明。

  • 左上角的 Cycles：输入的数字表示频率为 0Hz, 1Hz, 2Hz... 的振幅，例如输入 1 -1，表示频率 0Hz (直流) 的振幅为 1，频率 1Hz 的振幅为 -1，以此类推。也可以输入起始的角度，例如输入 0 1:90，表示没有直流成分，而频率 1Hz 的振幅为为 1，起始角度为 90 度。图中左方会显示每个不同频率讯号旋转的状况，以绿色小点表示。
  • 右上角的 Time：输入的数字表示取样时间点的值，基本上假设输入 n 个数，则会有 n 个时间取样点，其中每隔 1/n 秒取样一次，每经过 1 秒视为重覆取样。图中央右方会显示每个取样点的值，以橘色小点表示。
  • 右上角的取样值，实际意义为左上角所有频率成份加总结果的水平值，也就是把所有绿色小点加总之后，将其投影在 X 轴上的实数值。在输入左上角或右上角时，另一边也会跟着改变，使得两边的讯号可以对应起来。
  • 下面的按钮：
    • Total: 是否显示加总的讯号。
    • Parts: 是否显示各成份讯号。
    • Ticks: 是否显示取样时间点格线。
    • Derive: 这部份比较复杂，最后再详说。
    • Running: 点击时图形会暂停或继续执行，也可以直接点选整个图形。暂停之后会出现捲动棒，此时可以用滑鼠或键盘左右键来移动时间点。
    • 傅立叶人像图： 点击时图形背景会改变颜色。

練習

请读者先随便玩一玩，大致熟悉之后再进到下一页。

  1. Better Explained, An Interactive Guide To The Fourier Transform (opens new window) ↩︎

  2. https://gist.github.com/kazad/8bb682da198db597558c ↩︎

  3. http://treeblurb.com/dev_math/sin_canv00.html ↩︎

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