傅立葉變換 (Fourier Transform)

這一篇文稿，有很多想法和內容參考了 betterexplained.com 的網頁^[1]，另外模擬程式也參考了 kazad 的程式碼^[2] 以及 quantblog.wordpress.com 的程式碼^[3] 做進一步的修改而成，就先在此一併說明。感謝有這些資源，讓我可以進一步拿來改寫，希望對於初學者，尤其不太喜歡讀英文的，能夠有一點點幫助。

傅立葉變換在理工的領域常常被提到，那麼到底它是什麼東西呢？簡而言之，它可以用來告訴我們：在時間訊號裡面，到底躲藏了哪些頻率的訊號在裡面。反過來，如果知道各種頻率成份，那麼組合起來的時間訊號又是長怎麼樣的。我們一起來學習吧！

首先，如果一個點在圓週上做等速運動，那麼它在 X 軸或 Y 軸上的投影，其大小和時間的關係會是一個弦波，如下面的圖示：

Canvas Not supported, sorry.

這邊，Y 軸上的投影大小會變成 sin 函數（紅色），而 X 軸的投影大小就是 cos 函數（綠色）。我們在下面的討論，基本上會使用 X 軸的投影。

我們會用來做講解的程式，是從 betterexplained.com (opens new window) 所提供的線上程式，像下面這樣：

那我把這個程式稍微做了一些改寫，在之後的頁面讀者會看到有一些差別，不過基本的功能是一樣的。

以下先說明這個模擬程式的基本功能，然後再進行我們的說明。

• 左上角的 Cycles：輸入的數字表示頻率為 0Hz, 1Hz, 2Hz... 的振幅，例如輸入 1 -1，表示頻率 0Hz (直流) 的振幅為 1，頻率 1Hz 的振幅為 -1，以此類推。也可以輸入起始的角度，例如輸入 0 1:90，表示沒有直流成分，而頻率 1Hz 的振幅為為 1，起始角度為 90 度。圖中左方會顯示每個不同頻率訊號旋轉的狀況，以綠色小點表示。
• 右上角的 Time：輸入的數字表示取樣時間點的值，基本上假設輸入 n 個數，則會有 n 個時間取樣點，其中每隔 1/n 秒取樣一次，每經過 1 秒視為重覆取樣。圖中央右方會顯示每個取樣點的值，以橘色小點表示。
• 右上角的取樣值，實際意義為左上角所有頻率成份加總結果的水平值，也就是把所有綠色小點加總之後，將其投影在 X 軸上的實數值。在輸入左上角或右上角時，另一邊也會跟著改變，使得兩邊的訊號可以對應起來。
• 下面的按鈕：
  • Total: 是否顯示加總的訊號。
  • Parts: 是否顯示各成份訊號。
  • Ticks: 是否顯示取樣時間點格線。
  • Derive: 這部份比較複雜，最後再詳說。
  • Running: 點擊時圖形會暫停或繼續執行，也可以直接點選整個圖形。暫停之後會出現捲動棒，此時可以用滑鼠或鍵盤左右鍵來移動時間點。
  • 傅立葉人像圖： 點擊時圖形背景會改變顏色。

練習

請讀者先隨便玩一玩，大致熟悉之後再進到下一頁。

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1. Better Explained, An Interactive Guide To The Fourier Transform (opens new window) ↩︎

2. https://gist.github.com/kazad/8bb682da198db597558c ↩︎

3. http://treeblurb.com/dev_math/sin_canv00.html ↩︎