傅立葉變換-05

現在我們來看一點數學。首先看一下這個模擬圖：

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Rad$\ = 0^{\circ} = 2\pi\times 0.00$

Point$\ = e^{i 2\pi\times 0.00}$

$\ = \small{\cos(2\pi\cdot 0.00) + i \sin(2\pi\cdot 0.00)}$

這邊橘色點在單位圓上繞行，假設綠色線段和 x 軸的交角為 $\theta$，那麼橘點的位置應該在 $\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ 的位置，或者我們也可以把它寫成 $e^{i\theta}$ (尤拉公式)。 如果橘點的角速度是 $\omega$，那它在時間 $t$ 的位置可以寫成 $e^{i\omega t}$。 注意在這種表示法中，指數部份每增加 $2\pi$ 表示剛好繞一圈，所以 $e^{i2\pi} = e^{i0} = 1$。

現在考慮 $N$ 個跑者，有 $N$ 個取樣時間點 ($0, 1/N, 2/N, \cdots, (N-1)/N$) 的問題。如果全部的振幅都是 1，開始的角度都是 0，那麼就像前面所討論過的，第一個取樣值應該是 $N$，而其他 $N-1$ 個取樣值都是 0。

那怎樣讓第 $n$ 個取樣值是 $N$，而其他值是 0 呢？先看 $n=2$ 的情況，也就是到了第二個取樣時間點所有跑者才重合的情況，那如果我們把時間倒回去第一個取樣點，也就是倒退 $1/N$ 秒，會發生什麼事呢？基本上就是把速度 1 的跑者倒退 $1/N$ 圈，速度 2 的跑者倒退 $2/N$ 圈，依此類推就可以了。換句話說，這 $N$ 個跑者的起始位置應該是：

$$1, e^{-i2\pi/N}, e^{-i4\pi/N}, \cdots, e^{-i2(N-1)\pi/N}$$

思考一下上面的數學式，等到理解了再回答下面的問題。

練習

1. 跟上面類似的推論，當 $n=3$ 的情況下，$N$ 個跑者的起始位置在哪裡？
2. 一般 $n$ 值的情況呢（$1\le n\le N$）？先想一想，再往下看。