傅立葉變換-07

上一個單元有答對嗎？
$(1, 1, 1, 1)$ 可以產生 4 0 0 0；
$(1, e^{-i2\pi/4}, e^{-i4\pi/4}, e^{-i6\pi/4})$ 可以產生 0 4 0 0；
那麼把上面兩組相加就好了，所以結果應該是：
$(1+1, 1+e^{-i2\pi/4}, 1+e^{-i4\pi/4}, 1+e^{-i6\pi/4})$ 也就是 $(2, \sqrt{2}e^{-i\pi/4}, 0, \sqrt{2}e^{i\pi/4})$，那我們可以填入一個近似值：
2 1.414:-45 0 1.414:45，就可以得到 4 4 0 0 的結果了。有答對嗎？

那怎麼產生取樣值 $a$ $b$ $c$ $d$ 呢？方法其實是一樣的。
考慮頻率為 $k$-Hz 的成份 ($0\le k<4$)，假設振幅為 $X_k$，那麼要產生 $a$ 0 0 0 的話，$X_k$ 應該等於 $a/4$；
要產生 0 $b$ 0 0 的話，$X_k$ 應該等於 $(b/4)\ e^{-i2k\pi/4}$；
要產生 0 0 $c$ 0 的話，$X_k$ 應該等於 $(c/4)\ e^{-i4k\pi/4}$；
要產生 0 0 0 $d$ 的話，$X_k$ 應該等於 $(d/4)\ e^{-i6k\pi/4}$，
把以上 4 個數相加，就得到 $X_k$ 的總和為

$$(a/4) + (b/4)\ e^{-i2k\pi/4} + (c/4)\ e^{-i4k\pi/4} + (d/4)\ e^{-i6k\pi/4}$$

整理一下，把 $a$ $b$ $c$ $d$ 寫成 $x_0$ $x_1$ $x_2$ $x_3$， 那麼

$$X_k = \frac14 \sum_{n=0}^3 x_n e^{-i2kn\pi/4}$$

練習

1. 現在把 4 個點變成 N 個點，時間取樣值是 $x_0, x_1, \cdots, x_{N-1}$，那麼第 $k$ 個頻率的值 $X_k$ 會變成什麼呢？
2. 反過來，假設頻率為 $k$-Hz 的成份振幅為 $X_k$，那麼第 $n$ 個時間的取樣值為何呢？