傅立葉變換-08

當時間取樣值是 $x_0, x_1, \cdots, x_{N-1}$ 時，第 $k$ 個頻率的值 $X_k$ 就是

$$X_k = \frac1N \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-i2kn\pi/N}$$

反過來，假設第 $k$ 個頻率的值是 $X_k$，因為它的轉速是 $k$，而取樣點在 $0, 1/N, 2/N, \cdots, (N-1)/N$，所以第 $n$ 個取樣值 $(0\le n<N)$ 表示經過 $n/N$ 的時間，所以轉了 $nk/N$ 圈，那麼它的位置在 $X_k e^{i2\pi nk/N}$ ($X_k$ 是振幅)。那我們總共有 $N$ 個頻率，全部相加，就可以得到全部合成的點 $x_n$，其結果為

$$x_n = \sum_{n=0}^{N-1} X_k e^{i2kn\pi/N}$$

在我們的模擬程式中，最後再把 $x_n$ 取實數就是取樣點的值了。

上面兩個式子，就是離散傅立葉變換 (Discrete Fourier Transform, DFT)。

如果我們知道時間的取樣值，就可以計算頻率的各個成份；
反過來，如果我們知道頻率的各個成份，也可以計算時間的取樣值。

練習

1. 假設時間取樣值為 1 1 1 1，則頻率成份應該為何？試著先用公式算看看，然後再用模擬圖檢查看看是否相同。

2. 假設頻率成份為 1 1 1 1，則時間取樣值應該為何？試著先用公式算看看，然後再用模擬圖檢查看看是否相同。