尤拉公式

在單位圓的圓周上等速旋轉的一個點，其角度可以看成是線性的，不妨寫成 $\omega t$。根據三角函數，該點的水平座標為 $\cos(\omega t)$，而垂直座標為 $\sin(\omega t)$，因此在複平面上，該點的位置可以表示如下：

$$\cos(\omega t) + j \sin(\omega t)$$

根據尤拉公式 $e^{j\omega t} = \cos(\omega t) + j \sin(\omega t)$，所以該點的位置也可以寫成 $e^{j\omega t}$；也就是說 $e^{j\omega t}$ 代表的就是一個角速度為 $\omega$ 等速旋轉的訊號點。參見下圖：

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Rad$\ = 0^{\circ} = 2\pi\times 0.00$

Point$\ = e^{i 2\pi\times 0.00}$

$\ = \small{\cos(2\pi\cdot 0.00) + i \sin(2\pi\cdot 0.00)}$

如果我們把尤拉公式中的 $\omega$ 改成 $-\omega$，然後跟上式一起運用，做一點簡單的運算，可以得到以下的公式：

$$\cos(\omega t) = \frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2}$$

換句話說，$\cos(\omega t)$ 可以看成是兩個訊號點的合成，其中一個是 $\frac12 e^{j\omega t}$，另外一個是 $\frac12 e^{-j\omega t}$。

練習

1. 試著把 $\sin(\omega t)$ 寫成 $e^{j\omega t}$ 和 $e^{-j\omega t}$ 的線性組合。
2. 試著把 $\cos(\omega t+\theta)$ 寫成 $e^{j\omega t}$ 和 $e^{-j\omega t}$ 的線性組合。