升餘弦脈衝信號

以下以升餘弦脈衝信號為例，來進行抽樣定理的簡單分析。假設 $s(t)$ 為 $\alpha=1$ 的升餘弦脈衝信號，

$$s(t)=\frac{\operatorname{sinc}(t/T)\cos(\pi t/T)}{1-4t^2/T^2} = \frac{\sin(2\pi t/T)}{(2\pi t/T)(1-4t^2/T^2)}$$

其傅立葉變換經計算後為

$$S(f) = \begin{cases} T\cos^2(\pi fT/2),& |f| < 1/T\\ 0,& |f| > 1/T \end{cases}$$

取 $T=2$，則

$$s(t)=\sin(\pi t)/(\pi t(1-t^2))$$

$$S(f) = \begin{cases} 2\cos^2(\pi f),& |f| < 1/2\\ 0,& |f| > 1/2 \end{cases}$$

以下為了方便觀察，我們來撰寫一個計算時域的函數，取名為 mys.m，程式碼如下：

function y = mys(x)
% Calculate raise cos with a=1 and T=2

pos1 = x==-1 | x==1; % |x|=1 須特別處理 
pos0 = x==0; % x=0 須特別處理
x(pos0) = 99;
x(pos1) = 99;
y = sin(pi*x)./(pi*x.*(1-x.*x));
y(pos0) = 1;
y(pos1) = 0.5;

接下來試用所寫函數：

t = -5:.1:5;
s = mys(t);
plot(t,s);
grid on;

得到的圖形如下所示：

升餘弦脈衝信號

我們再寫一個計算頻率的函數，取名為 mysf.m，程式碼如下：

function y = mysf(x)
% Calculate spectrum of raised cos with a=1, T=2

pp05 = x>0.5 | x<-0.5;
x(pp05) = 0.5;
y = 2*cos(pi*x).*cos(pi*x);

接下來試用所寫函數：

f = -2:0.1:2;
sf = mysf(f);
plot(f, sf);
grid on;

得到的圖形如下圖所示：

升餘弦脈衝信號頻譜