模擬實驗解答

抽樣實驗 (opens new window)

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試著利用上圖的模擬器回答以下問題：

1. 旋轉速率和抽樣速率同時乘上一個倍數，模擬會產生什麼變化？

Answer

當旋轉速率和抽樣速率同時乘上一個倍數，圓周上取樣的點相同，但是時間尺度會改變。

2. 訊號點的轉速 r 增加 f 的整數倍，對於訊號點的軌跡和抽樣有何影響？

Answer

轉速增加抽樣的整數倍，圓周上取樣的點相同。因此只看抽樣點時，無法區分轉速 r, r+f, r+2f... 等的差別。

3. 改變訊號點轉速的正負號，對於訊號點的軌跡和抽樣有何影響？

Answer

轉速正與負，對於訊號點的軌跡與抽樣而言，都是映射（旋轉方向不同，對稱於 x 軸），數學上代表共軛的複數。

4. 假設 f=10，當 r 分別為 1 和 9 時，訊號點的軌跡和抽樣有什麼異同？

Answer

已知當 r 增加 f 的整數倍時，抽樣點位置不變，因此 r=9 與 r=-1 的抽樣點是相同的。如此一來，等同於比較 r=1 及 r=-1 的差異。所以 r=1 與r=9 的訊號點軌跡不同，但是抽樣點對稱於 x 軸。也就是說，兩者的抽樣訊號是共軛複數。

5. 假設 f=10，且 r<10，可否透過抽樣點所猜測的訊號點軌跡來確定 r 值？

Answer

無法確定，例如：「轉速1的反轉」與「轉速9的正轉」兩者是無法區分的。

6. 假設 r 值不超過 30，如果要透過抽樣點來估測訊號點的實際轉速，那麼 f 值有何限制？

Answer

為了區隔正轉與反轉，每次抽樣時，旋轉角度不能超過 1/2 圓，因此抽樣速率要大於 2 倍的 r，也就是說，抽樣速率 f 須大於 60。

7. 這個模擬和抽樣定理有沒有什麼相似的地方？

Answer

此實驗就是在模擬抽樣定理。但是，此實驗只模擬單一頻率的情況。單一頻率可能有正轉或負轉，當訊號頻率固定時，抽樣頻率只要大於 2 倍轉速，就可以唯一確定。

尤拉公式 (opens new window)

1. 試著把 $\sin(\omega t)$ 寫成 $e^{j\omega t}$ 和 $e^{-j\omega t}$ 的線性組合。

Answer

已知尤拉公式：

$$e^{j\omega t} = \cos(\omega t) + j \sin(\omega t)$$

$$e^{-j\omega t} = \cos(\omega t) - j \sin(\omega t)$$

兩式相減：

$$e^{j\omega t}-e^{-j\omega t} = 2j\sin(\omega t)$$

$$\Rightarrow \sin(\omega t) = \frac{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}{2j}$$

2. 試著把 $\cos(\omega t+\theta)$寫成 $e^{j\omega t}$ 和 $e^{-j\omega t}$的線性組合。

Answer

$$\frac{e^{j(\omega t+\theta)}+e^{-j(\omega t+\theta)}}{2} = \frac{e^{j\theta}}{2}e^{j\omega t} + \frac{e^{-j\theta}}{2}e^{-j\omega t}$$

傅立葉變換 (opens new window)

1. 一個特定頻率成份（轉速）的訊號，是否可以由其他不同頻率（轉速）的訊號做線性組合（放大縮小及加減運算）而得到？為什麼？

Answer

不可以。每一個不同頻率的旋轉波都保有各自頻率的特性，不能由其他旋轉波組合而成。

2. 傅立葉變換可以用來找出時間訊號中每一個不同頻率的訊號成份；反過來說，如果已知每一個不同頻率的訊號成份，那麼也可以合成原來的時間訊號。請結合這個概念，以及前面所提到的內容，重新說明取樣定理的限制條件。

Answer

抽樣速率超過訊號中最高頻率成份的 2 倍，也就超過所有頻率成份的 2 倍，那麼每個頻率成份都可以確定，因此整個訊號就可以確定下來。