傅立葉變換

根據傅立葉變換的理論，不只是 $\cos(\omega t)$，實際上，我們可以把任意的時間函數 $x(t)$，寫成 $e^{j\omega t}$ 的線性組合。

$$x(t) = \frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty X(\omega)\ e^{j\omega t}\,d\omega$$

其中

$$X(\omega) = \int_{-\infty}^\infty x(t)\ e^{-j\omega t}\,dt$$

也就是說，任意的時間函數，我們都可以把它看成是不同圓周上各類等速旋轉的訊號點的合成。

我們這邊不談太多數學證明，而是打算用比較直觀的方式來看一下這個變換公式。

如果 $x(t)$ 可以看成是很多不同轉速的訊號點的合成，那麼把 $x(t)$ 乘上 $e^{-j\omega t}$ 會發生什麼事呢？基本上，

$$e^{j\omega' t}\,e^{-j\omega t} = e^{j(\omega'-\omega)t}$$

換句話說，每一個成份波的轉速都會減少 $\omega$，那麼如果 $\omega'=\omega$，指數的部份變成 0，所以乘出來的結果就會變成常數 1；否則的話，仍然會是一個旋轉的波，只是轉速減少了 $\omega$。

那如果我們把一個旋轉的波在時間上做積分會得到什麼結果呢？基本上積分是一種求和的運算，而複數的加法也可以看成是二維向量的加法。因為是一個等速旋轉的訊號，只要時間夠長，每一個方向累加的量大致上會相等，最後就會互消抵消而得到 0。換句話說，所有轉速不是 $\omega$ 的成份，積分後都會消失；而轉速為 $\omega$ 的訊號，因為每一項都是常數，求和之後只會越來越大，不會消失。這邊假設頻率成份是連續的，基本上必須使用頻率密度，而不是該頻率的分量值，所以求和的時候，不會變成無限大，而是得到一個可以反應出 $\omega$ 轉速的訊號成份大小。那這裡只是談一些很基本的概念，詳細的推導過程和原理，可以自行查閱其他資料。

練習

1. 一個特定頻率成份（轉速）的訊號，是否可以由其他不同頻率（轉速）的訊號做線性組合（放大縮小及加減運算）而得到？為什麼？
2. 傅立葉變換可以用來找出時間訊號中每一個不同頻率的訊號成份；反過來說，如果已知每一個不同頻率的訊號成份，那麼也可以合成原來的時間訊號。請結合這個概念，以及前面所提到的內容，重新說明取樣定理的限制條件。