附錄三：進制換算
在表達數字的時候，一般我們最常用的是十進制，但實際上還有其他各式各樣不同的進制，例如在電腦的世界中，最常用的是二進制或十六進制。這裡我們要來簡介一下不同進制的換算方式。
十進制
假設我們有 331 顆彈珠，要用十進制來表示，實際上這邊說的 331 就是十進制，所以答案當然是 331。不過我們還是把這個計數過程演練一次，這樣我們對於其他不同的進制，也容易類推並了解它的換算方法。
現在開始數彈珠，從第 1 顆開始，然後 2, 3, …一直數下去。當數到 10 的時候，因為是 10 進制，所以應該進到第二位，一般我們稱它為「十位」。因為每 10 個都應該進位到十位，所以會進位幾次到十位呢？
331 ÷ 10 = 33 … 1
也就是說，有 33 個十位，而個位部份剩下 1 個，那我們現在知道，個位數應該放 1。
但是十進位的部份，也是每 10 個就該進到下一位，我們稱它為「百位」。那現在有 33 個，會進位幾次到百位呢？
33 ÷ 10 = 3 … 3
也就是說，有 3 個百位，十位部份剩下 3 個，所以十位數應該放 3。
那百位的部份，目前有 3 個，沒有進位的問題，所以百位就放 3。
最後我們得到十進制的表達方式為 331。
注意在計算過程中，我們可以看到一個十位等於十個個位，而一個百位等於十個十位，也等於一百個個位，所以也可以這樣來理解 331：
331 = 3 × 100 + 3 × 10 + 1 × 1 = 3 × 102 + 3 × 101 + 1 × 100
這邊 102, 101, 100 可以看成是百位、十位、個位的權重。
十六進制
現在來討論十六進制。十六進制顧名思義，就是算到第 16 個的時候才進到下一位。但我們一般習慣用 0~9 的阿拉伯數字，也就只有十個符號，還不夠用達表達十六進制。一般的方是就是再借用英文的 A~F 六個字母，這樣總共就有 16 個符號，表達上就沒有問題了。其中 A~F 分別用來表達第 10 個到第 15 個數，那第 16 個就應該進位了。
怎麼用十六進制來表達 331 呢？跟上面十進制的方式一樣，從 1 開始算，每算到 16 個的時候，就進到下一位，那我們估且稱它為第二位好了。會進位幾次到第二位呢？
331 ÷ 16 = 20 … 11
也就是說，有 20 個第二位，剩下 11 個沒進位。那第 11 個也就是符號 B，所以第一位應該是 B。
那第二位的部份有 20 個，也是每 16 個就該進到下一位，估且稱第三位好了，那麼會進位幾次到第三位呢？
20 ÷ 16 = 1 … 4
也就是說，只有 1 個進到第三位，剩下 4 個留在第二位。因為 1 個沒有進位的問題，所以不用再算下去了。
最後我們得到十六進制的表達方式為 14B。
同樣的，因為一個第二位等於 16 個第一位，而一個第三位等於 16 個第二位，也等於 16 × 16 = 256 個第一位，所以也可以這樣來理解十六進位的 14B：
(14B)16 = 1 × 162 + 4 × 161 + 11 × 160 = 1 × 256 + 4 × 16 + 11 × 1 = (331)10
這邊 162, 161, 160 可以看成是第三位、第二位、第一位的權重。
百進制
我們很少聽說有百進制的，不過既然已經了解進制的計算方式，不妨來試看看百進制的情況。因為百進制需要一百個符號，顯然 10 個阿拉伯數字再加上 26 個英文字母都不夠用，如果我們再補上一些稀奇古怪的符號，可能就變得太複雜了。我們乾脆用 X0, X1, …, X99 這 100 個符號來表達就好了，這樣一來，需要再多的符號都沒有問題，而且也很容易看出它們的順序。
同樣的，每次計算到第 100 個的時候，就應該進位，那麼，
331 ÷ 100 = 3 … 31
所以有 31 個留在第一位，有 3 個進到第二位。第 31 個的表達符號應該為 X31，而第 3 個的表達符號為 X3，所以最後得到百進制的表達式為 X3 X31。
我們也可以用權重的方式來理解 X3 X31這個數：
(X3 X31)100 = 3 × 100 + 31 × 1 = (331)10
十進制和百進制的換算
331 的十進制就是 331，而百進制則是 X3 X31，這兩個看起來很相似。實際上，我們很容易可以理解，因為百進制要算到 100 才會進位，而 100 對十進制來說，等於是進了二位，所以一個百進制的進位，也就等於二個十進制的進位。或則也可以這樣說，每一個百進制的符號，可以對應到二個十進制的符號。這樣的話，我們要做這兩者的換算就很容易了。
以 331 為例，因為百進制的 X31 等於十進制的 31，而百進制的 X3 等於十進制的 03，所以百進制的 X3 X31 就等於十進制的 0331，或者一般會去掉前面的 0，就寫成 331。反過來，十進制的 331，就等於 0331，也就等於百進制的 X3 X31。
再舉其他例子：十進制的 332211 就等於百進制的 X33 X22 X11，而百進制的 X1 X45 X23 就等於十進制的 14523。
從上面的說明可以知道，因為百進制的一個符號，相當於十進制的二個符號，只要掌握彼此的對應關係，要做十進制和百進制的換算，其實是非常容易的。要把百進制換算成十進制，基本上就是直接把每個百進制的符號，改成二個十進制的符號就可以了。反過來，要把十進制換算成百進制，就從個位往左，把每二個符號改成一個百進制的符號就可以了。
十六進制和二進制的換算
了解了十進制和百進制之間的換算方式之後，我們再來看十六進制和二進制的換算，就很容易找到它的訣竅。
二進制是逢 2 進位，那麼第 2 個的話會進一位，第 4 個會進二位，第 8 個會進三位，第 16 個就進四位。但對於十六進制來說，第 16 個才進位一次，所以 1 個十六進制的符號，等於 4 個二進制的符號。兩者的對應關係如下：
有了這個對應表之後，我們要做十六進制和二進制的換算就很容易了，基本上就是把十六進制的 1 個符號，對應成 4 個二進制的符號就好了。例如：
(1AF)16 = (0001 1010 1111)2 或 (1 1010 1111)2
(1010110)2 = (0101 0110)2 = (56)16
八進制
了解十六進制和二進制的換算方法之後，接著看八進制和二進制的換算就很容易了。基本上八進制的一個符號，等於是二進制的三個符號，兩者的對應關係如下：
舉例來說：
(354)8 = (011 101 100)2 或 (11 101 100)2
(1010110)2 = (001 010 110)2 = (126)8
如果要做十六進制和八進制的轉換，我們可以把二進制當作轉換的橋樑，例如：
(354)8 = (011 101 100)2 = (1110 1100)2 = (EC)16
小數的處理
一般的實數可能會帶有小數，我們可以把整數部份和小數部份分開，並利用權重的概念，來計算小數的數字。 舉例說明，要把十進制的 11.375 轉換成二進制，首先可以先處理整數 11：
(11)10 = (1011)2
接著處理小數的部份 0.375。假設轉成二進制之後，其小數位元為 0. A-1 A-2 A-3 …，則：
(0.375)10 = (0. A-1 A-2 A-3 …)2
因為右邊是二進制，每個相隔的數字權重都差兩倍，如果我們把它乘以 2 的話，就等於是往左移一位，所以：
(0.75)10 = (A-1. A-2 A-3 …)2 ==> A-1 = 0
這樣就找出了 A-1，繼續把兩邊同乘以 2：
(1.5)10 = (A-2. A-3 A-4 …)2 ==> A-2 = 1
這次數目大於 1 了，可以先把整數部份去掉：
(0.5)10 = (0. A-3 A-4 …)2 ==> A-2 = 1
接著再把兩邊同乘以 2：
(1.0)10 = (A-3. A-4 …)2 ==> A-3 = 1
去掉整數部份之後，已經剩下 0，所以已經轉換完畢，所以小數：
(0.375)10 = (0.011)2
把整數部份加進去，最後得到：
(11.375)10 = (1011.011)2
注意：轉換成小數的時候，有可能會產生數字循環的狀況，也就是會變成無限個位數。因為一般電腦在儲存小數的時候，只能儲存有限個位數，所以如果存的是浮點數 (實數)，有可能會產生一些誤差。