尤拉公式

在单位圆的圆周上等速旋转的一个点，其角度可以看成是线性的，不妨写成 $\omega t$。根据三角函数，该点的水平座标为 $\cos(\omega t)$，而垂直座标为 $\sin(\omega t)$，因此在复平面上，该点的位置可以表示如下：

$\cos(\omega t) + j \sin(\omega t)$

根据尤拉公式 $e^{j\omega t} = \cos(\omega t) + j \sin(\omega t)$，所以该点的位置也可以写成 $e^{j\omega t}$；也就是说 $e^{j\omega t}$ 代表的就是一个角速度为 $\omega$ 等速旋转的讯号点。参见下图：

如果我们把尤拉公式中的 $\omega$ 改成 $-\omega$，然后跟上式一起运用，做一点简单的运算，可以得到以下的公式：

$\cos(\omega t) = \frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2}$

换句话说，$\cos(\omega t)$ 可以看成是两个讯号点的合成，其中一个是 $\frac12 e^{j\omega t}$，另外一个是 $\frac12 e^{-j\omega t}$。

练习

1. 试着把 $\sin(\omega t)$ 写成 $e^{j\omega t}$ 和 $e^{-j\omega t}$ 的线性组合。
2. 试着把 $\cos(\omega t+\theta)$ 写成 $e^{j\omega t}$ 和 $e^{-j\omega t}$ 的线性组合。