抽样实验

# 傅立叶变换

根据傅立叶变换的理论，不只是 cos⁡(ωt)\cos(\omega t)，实际上，我们可以把任意的时间函数 x(t)x(t)，写成 ejωte^{j\omega t} 的线性组合。

x(t)=12π∫−∞∞X(ω)ejωtdωx(t) = \frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty X(\omega)\ e^{j\omega t}\,d\omega

其中

X(ω)=∫−∞∞x(t)e−jωtdtX(\omega) = \int_{-\infty}^\infty x(t)\ e^{-j\omega t}\,dt

也就是说，任意的时间函数，我们都可以把它看成是不同圆周上各类等速旋转的讯号点的合成。

我们这边不谈太多数学证明，而是打算用比较直观的方式来看一下这个变换公式。

如果 x(t)x(t) 可以看成是很多不同转速的讯号点的合成，那麽把 x(t)x(t) 乘上 e−jωte^{-j\omega t} 会发生什麽事呢？基本上，

ejω′te−jωt=ej(ω′−ω)te^{j\omega' t}\,e^{-j\omega t} = e^{j(\omega'-\omega)t}

换句话说，每一个成份波的转速都会减少 ω\omega，那麽如果 ω′=ω\omega'=\omega，指数的部份变成 0，所以乘出来的结果就会变成常数 1；否则的话，仍然会是一个旋转的波，只是转速减少了 ω\omega。

那如果我们把一个旋转的波在时间上做积分会得到什麽结果呢？基本上积分是一种求和的运算，而复数的加法也可以看成是二维向量的加法。因为是一个等速旋转的讯号，只要时间够长，每一个方向累加的量大致上会相等，最后就会互消抵消而得到 0。换句话说，所有转速不是 ω\omega 的成份，积分后都会消失；而转速为 ω\omega 的讯号，因为每一项都是常数，求和之后只会越来越大，不会消失。这边假设频率成份是连续的，基本上必须使用频率密度，而不是该频率的分量值，所以求和的时候，不会变成无限大，而是得到一个可以反应出 ω\omega 转速的讯号成份大小。那这裡只是谈一些很基本的概念，详细的推导过程和原理，可以自行查阅其他资料。

练习


  1. 一个特定频率成份（转速）的讯号，是否可以由其他不同频率（转速）的讯号做线性组合（放大缩小及加减运算）而得到？为什麽？
  2. 傅立叶变换可以用来找出时间讯号中每一个不同频率的讯号成份；反过来说，如果已知每一个不同频率的讯号成份，那麽也可以合成原来的时间讯号。请结合这个概念，以及前面所提到的内容，重新说明取样定理的限制条件。

←