# 傅立叶级数

函数有不同频率成份，可以看成是由不同频率成份的函数组合而成，而傅立叶分析主要就是用来观察和分析函数的各种不同频率成份。

一般周期性信号的频率成份，会有一个最低的频率成份称为基频，其他频率成份会是这个频率的倍数，也可以说是相关的谐波。这些频率成份的系数，可以使用傅立叶级数来计算。如果信号不是周期性的，但是有一个限制的区间，那我们也可以把这个区间重复延伸，看成是周期性的函数。

假设函数 $s(x)$ 定义在 $[x_0, x_0+P]$ 的区间，则其傅立叶级数为

\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n\cos(\frac{2\pi n x}{P}) + b_n\sin(\frac{2\pi n x}{P})),

其中

a_n = \frac{2}{P}\int_{x_0}^{x_0+P} s(x)\cos(\frac{2\pi n x}{P})\ dx

b_n = \frac{2}{P}\int_{x_0}^{x_0+P} s(x)\sin(\frac{2\pi n x}{P})\ dx

$a_n$ 及 $b_n$ 为 $n$ 阶谐波的系数。

接下来，我们要使用 MATLAB 来观察一个锯齿状的三角波，我们把它的傅立叶级数的係数算出来，然后把 $N$ 项谐波的成份加起来，和原来波形放在一起观察。这边使用的波形 $s(t)$ 函数如下：

可以算出其傅立叶级数为：

s(x) = \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)

MATLAB 程式步骤如下：

MATLAB 有一个 sawtooth 函数，可以直接画出锯齿波形。sawtooth 定义在 Signal Processing 工具箱，如果使用 MATLAB，必须确定此工具箱已正确安装；如果使用 Octave，则可以使用 signal 套件。关于 Octave 套件的安装方式，在 Windows 环境下，可参考官网的说明 (opens new window)，如果是在 Ubuntu 的话，直接使用以下指令进行安装：

sudo apt-get install octave-signal

在 Octave 裡面，先使用 pkg load signal 指令将 Signal Processing 套件载入。接着便可以使用 sawtooth 函数（可用 help sawtooth 查看此函数的使用说明）。试着使用以下指令画出 sawtooth 函数图形：

t = -8:0.1:8;
s = sawtooth(t-pi); % sawtooth 预设周期为 2*pi，在 0 的地方转折
plot(t,s);
grid on; % 画格线

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观察一下波形看是否正确。

画部分级数和。

N = 5;   % 项数
sgn = 1; % 用作正负变号使用，第一项为正
t = -8:0.1:8; 
fs = zeros(size(t)); % 设 fs 跟 t 维度一样，全为 0
for n = 1:N          % 从 1 跑到 N
	fs = fs + 2*sgn*sin(n*t)/(n*pi); % 加一项
	sgn = sgn * -1;  % 变号
end
plot(t,fs); % 画图

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观察一下合成的波形。

最后将两个波形画在一起，程式码如下：

N = 5;
t = -8:0.1:8;
sgn = 1;
s = sawtooth(t-pi); % sawtooth 预设周期为 2 pi，在 0 的地方转折
fs = zeros(size(s));
for n = 1:N
    fs = fs + 2*sgn*sin(n*t)/(n*pi);
    sgn = sgn * -1;
end
plot(t,s,'b',t,fs,'r');
grid on; % 画格线

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执行后的结果如下：

在上面的程式中，我们已经知道

s(t)

的傅立叶级数的

a_n

和

b_n

的系数，如果是其他函数的话，可能要花很多时间计算。实际上，MATLAB 有一个 Symbolic Math Toolbox，可以帮忙做符号运算。

如果是 Octave 的话，则裡面有一个 symbolic 套件可以使用。可以在 Octave 的命令视窗中直接执行以下指令来安装 symbolic 套件：

pkg install -forge symbolic

接着用 pkg load symbolic 载入套件来使用。

例如 $f(x)=x^2$ ，假设定义在 $[-\pi,\pi]$ 的区间，可以使用以下方式计算 $a_n$ 的係数。

pkg load symbolic
syms x n;    % x, n 为符号
f = x^2;     % f(x) = x^2
an = int(f*cos(n*x), x, -pi, pi) / pi;    % 计算定积分的值

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練習 3

MATLAB 裡面有一个 square 函数，可以用来画出方波函数 (用 help square 查询看看)。请利用 symbolic 套件来计算方波的傅立叶级数，接着用程式画出方波及其部分傅立叶级数和的图形，此处方波的周期和振幅可自己定义。

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