傅立叶变换-05

现在我们来看一点数学。首先看一下这个模拟图：

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Rad$\ = 0^{\circ} = 2\pi\times 0.00$

Point$\ = e^{i 2\pi\times 0.00}$

$\ = \small{\cos(2\pi\cdot 0.00) + i \sin(2\pi\cdot 0.00)}$

这边橘色点在单位圆上绕行，假设绿色线段和 x 轴的交角为 $\theta$，那麽橘点的位置应该在 $\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ 的位置，或者我们也可以把它写成 $e^{i\theta}$ (尤拉公式)。 如果橘点的角速度是 $\omega$，那它在时间 $t$ 的位置可以写成 $e^{i\omega t}$。 注意在这种表示法中，指数部份每增加 $2\pi$ 表示刚好绕一圈，所以 $e^{i2\pi} = e^{i0} = 1$。

现在考虑 $N$ 个跑者，有 $N$ 个取样时间点 ($0, 1/N, 2/N, \cdots, (N-1)/N$) 的问题。如果全部的振幅都是 1，开始的角度都是 0，那麽就像前面所讨论过的，第一个取样值应该是 $N$，而其他 $N-1$ 个取样值都是 0。

那怎样让第 $n$ 个取样值是 $N$，而其他值是 0 呢？先看 $n=2$ 的情况，也就是到了第二个取样时间点所有跑者才重合的情况，那如果我们把时间倒回去第一个取样点，也就是倒退 $1/N$ 秒，会发生什麽事呢？基本上就是把速度 1 的跑者倒退 $1/N$ 圈，速度 2 的跑者倒退 $2/N$ 圈，依此类推就可以了。换句话说，这 $N$ 个跑者的起始位置应该是：

$1, e^{-i2\pi/N}, e^{-i4\pi/N}, \cdots, e^{-i2(N-1)\pi/N}$

思考一下上面的数学式，等到理解了再回答下面的问题。

練習

1. 跟上面类似的推论，当 $n=3$ 的情况下，$N$ 个跑者的起始位置在哪裡？
2. 一般 $n$ 值的情况呢（$1\le n\le N$）？先想一想，再往下看。