傅立叶变换-07

上一个单元有答对吗？
$(1, 1, 1, 1)$ 可以产生 4 0 0 0；
$(1, e^{-i2\pi/4}, e^{-i4\pi/4}, e^{-i6\pi/4})$ 可以产生 0 4 0 0；
那麽把上面两组相加就好了，所以结果应该是：
$(1+1, 1+e^{-i2\pi/4}, 1+e^{-i4\pi/4}, 1+e^{-i6\pi/4})$ 也就是 $(2, \sqrt{2}e^{-i\pi/4}, 0, \sqrt{2}e^{i\pi/4})$，那我们可以填入一个近似值：
2 1.414:-45 0 1.414:45，就可以得到 4 4 0 0 的结果了。有答对吗？

那怎麽产生取样值 $a$ $b$ $c$ $d$ 呢？方法其实是一样的。
考虑频率为 $k$-Hz 的成份 ($0\le k<4$)，假设振幅为 $X_k$，那麽要产生 $a$ 0 0 0 的话，$X_k$ 应该等于 $a/4$；
要产生 0 $b$ 0 0 的话，$X_k$ 应该等于 $(b/4)\ e^{-i2k\pi/4}$；
要产生 0 0 $c$ 0 的话，$X_k$ 应该等于 $(c/4)\ e^{-i4k\pi/4}$；
要产生 0 0 0 $d$ 的话，$X_k$ 应该等于 $(d/4)\ e^{-i6k\pi/4}$，
把以上 4 个数相加，就得到 $X_k$ 的总和为

$(a/4) + (b/4)\ e^{-i2k\pi/4} + (c/4)\ e^{-i4k\pi/4} + (d/4)\ e^{-i6k\pi/4}$

整理一下，把 $a$ $b$ $c$ $d$ 写成 $x_0$ $x_1$ $x_2$ $x_3$， 那麽

$X_k = \frac14 \sum_{n=0}^3 x_n e^{-i2kn\pi/4}$

練習

1. 现在把 4 个点变成 N 个点，时间取样值是 $x_0, x_1, \cdots, x_{N-1}$，那麽第 $k$ 个频率的值 $X_k$ 会变成什麽呢？
2. 反过来，假设频率为 $k$-Hz 的成份振幅为 $X_k$，那麽第 $n$ 个时间的取样值为何呢？