傅立叶变换-08

当时间取样值是 $x_0, x_1, \cdots, x_{N-1}$ 时，第 $k$ 个频率的值 $X_k$ 就是

$X_k = \frac1N \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-i2kn\pi/N}$

反过来，假设第 $k$ 个频率的值是 $X_k$，因为它的转速是 $k$，而取样点在 $0, 1/N, 2/N, \cdots, (N-1)/N$，所以第 $n$ 个取样值 $(0\le n<N)$ 表示经过 $n/N$ 的时间，所以转了 $nk/N$ 圈，那麽它的位置在 $X_k e^{i2\pi nk/N}$ ($X_k$ 是振幅)。那我们总共有 $N$ 个频率，全部相加，就可以得到全部合成的点 $x_n$，其结果为

$x_n = \sum_{n=0}^{N-1} X_k e^{i2kn\pi/N}$

在我们的模拟程式中，最后再把 $x_n$ 取实数就是取样点的值了。

上面两个式子，就是离散傅立叶变换 (Discrete Fourier Transform, DFT)。

如果我们知道时间的取样值，就可以计算频率的各个成份；
反过来，如果我们知道频率的各个成份，也可以计算时间的取样值。

練習

1. 假设时间取样值为 1 1 1 1，则频率成份应该为何？试着先用公式算看看，然后再用模拟图检查看看是否相同。

2. 假设频率成份为 1 1 1 1，则时间取样值应该为何？试着先用公式算看看，然后再用模拟图检查看看是否相同。